数学基础公式推导

发表于 2018-04-25 更新于 2026-09-02 分类于数学阅读次数：本文字数： 335 阅读时长 ≈ 1 分钟

今天看到下面这个公式，突然想我好像不会推导啊：

$\sin (β - α) = \sin β \cos α - \cos β \sin α$

遂想如何推导，在 youtube 上找了一个视频：三角函数正余弦和角公式推导

思路是先推导出： $\cos (β - α) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

然后根据这个再结合正弦余弦之间的关系就很容易推 $\sin (β - α) = \sin β \cos α - \cos β \sin α$

那么怎么推导上面这个公式呢？

需要用到解析几何：

Screen Shot 2018-04-27 at 11.42.48 AM.png

结合 勾股定理 和 余弦定理 可以推导出。

这里不给出勾股定理和余弦定理的证明，感兴趣的可以自己证。

根据勾股定理：

\begin{aligned} {\overset{―}{P Q}}^{2} & = (\sin α - \sin β)^{2} + (\cos β - \cos α)^{2} \\ = 2 - 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β) \end{aligned}

根据余弦定理（ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 a b \cos A$ ）：

\begin{aligned} {\overset{―}{P Q}}^{2} & = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos (α - β) \end{aligned}

由此推出：

\cos (α - β) = \sin α \sin β + \cos α \cos β

也即：

\cos (β - α) = \sin α \sin β + \cos α \cos β

然后：

\begin{aligned} \sin (β - α) & = \cos (\frac{π}{2} - (β - α)) \\ = \cos ((\frac{π}{2} + α) - β) \\ = \sin (\frac{π}{2} + α) \sin β + \cos (\frac{π}{2} + α) \cos β \\ = \cos α \sin β - \sin α \cos β \\ = \sin β \cos α - \cos β \sin α \end{aligned}