浮点数原理

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浮点数的作用：区别于整形数，用来表示小数。可以用来表示很大的数，或者非常接近 0 的小数，或者近似的做实数计算，浮点数的一般形式：$x\times 2^y$。

IEEE（pronounced “Eye-Triple-Eee”）浮点数标准 是行业内公认的标准。

rounding：when a number cannot be represented exactly in the format and hence must be adjusted upward or downward。可以翻译为：舍入。

十进制的小数表示：$d_m d_{m-1} \cdots d_1 d_0 . d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n}$，写成数学表达式：

$$
d = \sum_{i=-n}^m 10^i \times d_i
$$

相应的，二进制也可以写成这种形式：

$$
b = \sum_{i=-n}^m 2^i \times b_i
$$

浮点数的表示

IEEE 浮点数的格式：$V = (-1)^s \times M \times 2^E$

  • s 是符号（Sign），s 为 0 时是正，s 为 1 时是负
  • M 是有效数字（Significand，即 尾数）
  • E 是 指数，Exponent，也叫 幂数，阶码
  • 隐含的 基数 是 2

下图是浮点数的内存分布模型，首先是符号域，然后是指数域，最后是分数域：

浮点数内存模型

  • 符号位 s 个，符号位只需要一位，s=1
  • 指数位 k 个，指数域 $exp=e_{k-1}\cdots e_1 e_0$，用来计算指数 E
  • 分数为 n 个，分数域 $frac=f_{n-1}\cdots f_1 f_0$，用来计算有效数字 M

32 位浮点数（单精度，float 型）中，s=1，k=8，n=23；64 位浮点数（双精度，double 型）中，s=1，k=11，n=52。

正常化值（Normalized Values）

当 $exp$ 域既不是全 0，也不是全 1 的时候，就是正常化值。

$E = e - Bias$，其中 $e$ 就是 $exp$ 域：$e_{k-1}\cdots e_1e_0$ 的值（除去全 0 和全 1 之后，取值范围是 1 到$2^k-2$），$Bias=2^{k-1}-1$（单精度的时候是 127，双精度的时候是 1023），那么 $E$ 的取值范围，单精度的时候是：-126 ~ +127，双精度的时候是：-1022 ~ +1023，其实 $E$ 的算法就是 移码 的计算方法。

$M = 1+f$，$0\le f\lt 1$，内存里只记录 f，而 1 作为一个前导值计算时候再加上，所以 f 是分数域 $frac$ 的 $0.f_{n-1}\cdots f_1f_0$ 这种形式

非正常化值（Denormalized Values）

当指数域全 0，就是非正常化格式。

在这种情况下，指数值是 $E = 1-Bias$，也就是固定了，有效数字值 $M = f$ 也就是没有前导 1 了。这个格式下可以表示 0，因为正常化值中，一定有： $M\ge 1$，所以我们无法在正常化值格式下表示 0。当符号位是 0，有效数字 $M=f=0$，我们得到的就是+0.0，当符号位是 1 的时候就是-0.0。

除了可以表示 0，这个格式的另一个作用就是用来表示非常接近 0 的数。

特殊值（Special Values）

当指数域全 1 的时候，且分数域是全 0，就表示无穷大，如果符号域为 0，表示 $+\infty$，如果符号位是 1，则表示 $-\infty$。无穷大可以作为溢出的结果，当我们用两个很大的数相乘，或者除以 0；

当指数域全 1，且分数域并非全 0 的时候，结果可以叫做：NaN（Not a Number 的简写），这种值用来表示不能用实数或者无穷大表示的计算结果，比如计算：$\sqrt{-1}$ 或者 $\infty - \infty$。

综合理解

下图是三类浮点数在数轴上的显示：

浮点数三种类型

可以看到非正常化值集中在 0 附近，正常化值散布在整个数轴的空间，特殊值则只表示两个无穷值。

下图是浮点数三种类型的光滑衔接：

浮点数三种类型光滑衔接

看完浮点数的设计和构造我们可以发现以下这些特点：

  • 从编码上有效数字域采用了无符号整数编码，而指数域采用了移码编码
  • 非正常化值均匀分布在 0 附近
  • 正常化值的间隔随着 $2^E$ 变大而逐渐变大，也就是精度逐渐降低
  • 精度是分组的，以 $2^E$ 增加 1 为一组，每组有 $2^n$ 个数（n 是有效数字域的位数）
  • 最高精度就是两个非正常化值的间隔，最低精度是最大的一组正常化值的相邻两数的间隔。
  • 非正常化值按照精度只占一组，正常化值的数量是非正常化值数量的 $2^{k}-2$ 倍
  • 正常化值的第一组的精度和非正常化值的精度一样，也就是实现了无缝衔接

浮点数的计算

舍入

舍入四种策略

Rounding 维基百科

各种 Rounding 合集图

浮点数中使用的是：舍入到最近的偶数，因为舍入结果放大和缩小各占 50%的概率，这样就可以防止最终结果偏大或者偏小。

下面是把浮点数舍入到小数点后两位数：

$10.00011_2(2\frac{3}{32})$ -> $10.00_2(2)$ 不到一半，正常四舍五入
$10.00110_2(2\frac{3}{16})$ -> $10.01_2(2\frac{1}{4})$ 超过一半，正常四舍五入
$10.11100_2(2\frac{7}{8})$ -> $11.00_2(3)$ 正好一半，保证最后一位是偶数，所以向上舍入
$10.10100_2(2\frac{5}{8})$ -> $10.10_2(2\frac{1}{2})$ 正好一半，保证最后一位是偶数，所以向下舍入

浮点数加减运算

基本性质

  • 相加可能产生 infinity 或者 NaN
  • 不满足交换律，不满足结合律（因为舍入会造成精度上的损失）
  • 加上 0 等于原来的数
  • 除了 infinity 和 NaN，每个元素都有对应的相反数
  • 除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即 $a\ge b \rightarrow a+c\ge b+c$
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#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    // 浮点数加法不满足交换律
    cout << 3.14 + 1e20 - 1e20 << endl;
    cout << 1e20 - 1e20 + 3.14 << endl;
    // 浮点数加法不满足结合律
    cout << (3.14 + 1e20) - 1e20 << endl;
    cout << 3.14 + (1e20 - 1e20) << endl;
    return 0;
}

运行结果:

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0
3.14
0
3.14

具体细节

设两个浮点数 $x$ 和 $y$：

$$
\begin{cases}
x=(-1)^{s_x} M_x 2^{E_x} \
y=(-1)^{s_y} M_y 2^{E_y}
\end{cases}
$$

则浮点数加减运算结果为：

$$
x\pm y = \left((-1)^{s_x}M_x 2^{E_x-E_y} \pm (-1)^{s_y}M_y \right)2^{E_y}
$$

  1. 对阶：首先要把指数位（阶码）调成一样，并相应的使 M 移位，由于有效域左移会引起最高有效位丢失，误差大，所以采用右移，此时阶码要增加。所以对阶原则是：小阶向大阶看齐。
  2. 有效数加减：简单的无符号数字相加减。
  3. 规格化：有效数求和结果可能大于 1，那么就向右规格化：尾数右移 1 位，阶码加 1。
  4. 舍入：对于右移出去的位，采取舍入
  5. 检查阶码是否溢出：
    • 阶码下溢：运算结果为非规格化数
    • 阶码上溢：置溢出标志

浮点数加减实例

$x=3.14, y=2.718$ 求 $z=x+y$。

首先算出 $x$ 和 $y$ 的内存表示：

$x = 3+0.14$，3 的二进制表示是11，0.14 的二进制要稍微计算一下，我们让 0.14 不断的乘以 2（也就是左移），得到的整数位部分就是其二进制值的一位：

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0.14 * 2 = 0.28     0
0.28 * 2 = 0.56     0
0.56 * 2 = 1.12     1
0.12 * 2 = 0.24     0
.
.
.

我们可以写个程序来完成这个计算工作：

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

using namespace std;

// 获取整形数的位数
int getDigits(int num){
    int count = 1;
    while(num/10>0){
        num %= 10;
        count++;
    }
    return count;
}

/**
 * 获取小数的二进制表示
 * @params precision 二进制表示精确到多少位
 * @params num 小数的整数表示
 */
char* getFloatBitset(int precision, int num){
    char* res = new char[precision];
    int digits = getDigits(num);
    int mod = pow(10, digits);
    char printFormat[50];
    sprintf(printFormat,"%%0.%df",2);
    // cout << printFormat <<endl;

    for(int i=0;i<precision;i++){
        printf(printFormat, num*1.0/mod);
        cout << " * 2 = ";
        num <<= 1;
        if(num >= mod){
            printf(printFormat, num*1.0/mod);
            cout << "       1" << endl;
            num %= mod;
            res[i] = '1';
        }else{
            printf(printFormat, num*1.0/mod);
            cout << "       0" << endl;
            res[i] = '0';
        }
    }
    return res;
}

/**
 * 获取小数的二进制表示
 * @params precision 二进制表示精确到多少位
 * @params num 浮点型小数
 * @params digits 输入的时候浮点型小数的位数
 */
char* getFloatBitset2(int precision, float num, int digits){
    char* res = new char[precision];
    int mod = pow(10,digits);
    // cout<<mod<<endl;
    char printFormat[50];
    sprintf(printFormat,"%%0.%df",2);
    for(int i=0;i<precision;i++){
        printf(printFormat, num);
        cout << " * 2 = ";
        num*=2;
        num = round(num*mod)/mod;
        if(num >= 1){
            printf(printFormat, num);
            cout << "       1" << endl;
            num -= 1;
            res[i] = '1';
        }else{
            printf(printFormat, num);
            cout << "       0" << endl;
            res[i] = '0';
        }
    }
    return res;
}

int main(int argc, char* argv[]){
    // char* res = getFloatBitset(atoi(argv[1]), atoi(argv[2]));
    char* res = getFloatBitset2(atoi(argv[1]), atof(argv[2]), atoi(argv[3]));
    cout << res << endl;
    return 0;
}

上面代码保存成：float2Bitset.cpp文件，然后编译，并使用：

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$ g++ -o float2Bitset float2Bitset.cpp
$ ./float2Bitset 23 0.14 2

小数位精确到 23 位的话，3.14 的定点浮点数表示是：11.00100011110101110000101。

转成浮点数，首先规格化 M，那么整体要右移 1 位，指数是 1，由 $E = e-Bias$，$E=1$, $Bias=127$ 得 $e=128$，也就是：1000 0000。

最终 3.14 的内存表示是：

$$
\underbrace{0}_{Sign}~\underbrace{10000000}_{Exponent}~~\underbrace{10010001111010111000011}_{Significand}
$$

同样的方法得到 2.718 的内存表示：

$$
\underbrace{0}_{Sign}~\underbrace{10000000}_{Exponent}~~\underbrace{01011011111001110110110}_{Significand}
$$

这两个数恰好是同阶的，那么就不需要对阶操作了。将 M 相加，但这个数太长了看着眼花，我们写个加法程序：

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#include <iostream>

using namespace std;

// 将两个相同位数的二进制数相加
char* addBitset(char num1[], char num2[], int length){
    char* res = new char[length+2];
    res[length+1] = '\0';
    int carry = 0;
    for(int i=length-1;i>=0;i--){
        res[i+1] = num1[i]-'0'+num2[i]-'0'+carry+'0';
        carry = 0;
        if(res[i+1]>'1'){
            res[i+1] -= 2;
            carry = 1;
        }
    }
    if(carry){
        res[0]='1';
    }else{
        res[0]='0';
    }
    return res;
}

int main(int argc, char* argv[]){
    int i=0;
    while(argv[1][i]!='\0'){
        i++;
    }
    cout << i <<endl;
    char* res = addBitset(argv[1], argv[2], i);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

上述代码保存成：addBitset.cpp，编译并使用该程序：

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$ g++ -o addBitset addBitset.cpp
$ ./addBitset 10010001111010111000011 01011011111001110110110

相加结果等于：0 11101101110100101111001，最高位没有产生进位，这里用了一个 0 来代替，但两个前导 1 相加产生了进位，所以还需要对 M 右归一下，再对指数加 1。所以加法结果的浮点数表示是：

$$
\underbrace{0}_{Sign}~\underbrace{10000001}_{Exponent}~~\underbrace{01110110111010010111101}_{Significand}
$$

这个数的十进制表示的计算方法是：$$2^2 \times (1+0\times (\frac{1}{2})^1 + 1\times (\frac{1}{2})^2 + 1\times (\frac{1}{2})^3 +1\times (\frac{1}{2})^4+0\times(\frac{1}{2})^5+\cdots)$$

我们依然采用程序来计算这一长串二进制对应的十进制小数：

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

using namespace std;

double bitset2Float(char* num1, int length){
    double res = 0.0;
    int count=1;
    for(int i=0;i<length;i++){
        double temp = (num1[i]-'0')/pow(2,count);
        // cout << temp << endl;
        res += temp;
        count++;
    }
    return res;
}


int main(int argc, char* argv[]){
    int i=0;
    while(argv[1][i]!='\0'){
        i++;
    }
    double res = bitset2Float(argv[1],i);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

上述代码保存为：Bitset2float.cpp，编译并执行：

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$ g++ -o Bitset2float Bitset2float.cpp
$ ./Bitset2float 01110110111010010111101

对得到结果：0.4645，$1.4645\times 2^2 = 5.858$，而 $3.14+2.718=5.858$，这就说明我们的计算无误。

算法流程图

浮点数加减流程图

这个流程图并不是完美的，真实的浮点数流程图和浮点数计算电路比这个复杂。另外我忘画了一个东西，这个图最后应该加上溢出处理模块，E 可能会上溢（当 E 加 1 的时候），也可能会下溢（当 E 减 1 的时候）。

最后这个流程图中没有对特殊值的判断，比如：$\infty - \infty = NaN$, $\infty + \infty = \infty$, $NaN + 任何数 = NaN$。

了解了浮点数加法的流程之后，最后我们回到最上面说的 浮点数加减法不满足交换律和结合律，从计算细节分析为什么不行。

首先 3.14 的浮点数表示我们已经计算过了，那么 1e20 的浮点数是多少呢？1e20 也就是 $10^{20}$，用辗转相除法可以得到其二进制表示。我们这里使用计算器工具

10的19次方的二进制

很遗憾的是 64bit 只能摆的下 $10^{19}$。我试了一下把源程序中的 1e20 换成 1e19 也是同样的结果。所以我们就使用 1e19 来分析这道题。

首先是 M 规格化，M 右移 63 位，E 加 63，舍入 M，那么 1e19 最终的双精度浮点数表示是：0 10000111110 0001010110001110010001100000100100010011110100000000

小阶向大阶看齐，3.14 的阶是 1，M 需要右移 62 位，而 M 的精度才 52，可想而知 M 就是 0 了。那么 3.14 + 1e19 的结果就是 1e19。1e20 就更加不用说了。

浮点数乘除

基本性质

  • 相乘可能产生 infinity 或者 NaN
  • 不满足交换律，结合律，分配率（因为溢出会造成程序无法计算出正确的结果）
  • 乘以 1 会等于原来的数
  • 除了 infinity 和 NaN，满足单调性：$a\ge b \rightarrow a\times c \ge b \times c$

具体细节

设两个浮点数 $x$ 和 $y$ ：

$$
\begin{cases}
x = \pm M_x 2^{E_x} \
y = \pm M_y 2^{E_y}
\end{cases}
$$

则浮点数乘除运算结果是：

$$
xy = \pm (M_x\times M_y)2^{E_x\pm E_y}
$$

  1. 计算阶码，判断是否溢出
  2. 求有效数的乘积
  3. 有效数舍入
  4. 计算符号位

浮点数还有相当多的细节，可以参考：IEEE 754