$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$的证明

高数中的第一个证明，可能就是这个 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$ 的证明了。下面给出这个极限的证明，用到了解析几何（作图法）。

作图工具 Geometry

如图我们可以看到，有一个单位圆，圆心为 $A$ ，线段 $CE$ 的长度等于 $\sin x$ ，线段 $CB$ 是 弦（我们令他等于 $a$ ），弧 $\stackrel{⌢}{CB}$ 的长度就是 $x$ ，线段 DB 的长度等于 $\tan x$ 。

它们的长度的大小关系我们很容易得出：

1. $\sin x<a$ ，因为三角形的直角边小于斜边
2. $a<x$ ，因为两点之间线段最短
3. $x<\tan x$ ，这个略微不那么直接，可以用面积法（通过比较面积继而得到表达式中两个未知数的大小关系），扇形 $CAB$ 的面积： $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x$ ，三角形 $\mathrm{△}DAB$ 的面积： $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan x$ 。而 $CAB$ 的面积小于 $DAB$ 的面积。所以得到 $x<\tan x$

由此我们得到不等式： $\sin x<x<\tan x$ (当 $x>0$ )，同时除以 $\sin x$ ，得到： $1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$ 。

当 $x<0$ 时，显然 $\sin x>x>\tan x$ ，同时除以 $\sin x$ （除以负数要变号），得到： $1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$ 。

令 $x\to 0^{-}$ ，由夹逼定理得到左极限 $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$

令 $x\to 0^{+}$ ，由夹逼定理得到右极限 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$

最终可以得到： $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$ （左右极限都等于 1）