高数中的第一个证明，可能就是这个$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$的证明了。下面给出这个极限的证明，用到了解析几何（作图法）。
作图工具 Geometry
如图我们可以看到，有一个单位圆，圆心为 $A$ ，线段 $CE$ 的长度等于 $\sin x$，线段 $CB$ 是 弦（我们令他等于 $a$），弧 $\overset{\frown} {CB}$ 的长度就是 $x$，线段 DB 的长度等于 $\tan x$。
它们的长度的大小关系我们很容易得出：
- $\sin x < a$，因为三角形的直角边小于斜边
- $a < x$，因为两点之间线段最短
- $x < \tan x$，这个略微不那么直接，可以用面积法（通过比较面积继而得到表达式中两个未知数的大小关系），扇形 $CAB$ 的面积：$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x$ ，三角形 $\triangle DAB$ 的面积：$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x$ 。而 $CAB$ 的面积小于 $DAB$ 的面积。所以得到 $x < \tan x$
由此我们得到不等式：$\sin x < x < \tan x$ (当 $x>0$ )，同时除以 $\sin x$，得到：$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。
当 $x<0$ 时，显然 $\sin x > x > \tan x$，同时除以 $\sin x$（除以负数要变号），得到：$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。
令 $x\rightarrow 0^{-}$，由夹逼定理得到左极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x} = 1$
令 $x\rightarrow 0^{+}$，由夹逼定理得到右极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1$
最终可以得到：$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ （左右极限都等于 1）