数学趣味题之构造法

最近刷视频号刷到一道有趣的数学题，题目是：

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{7}$$

问 $a,b,c$ 可能是什么自然数？

直接拉马努金法：

$$\frac{1}{7}=\frac{1\times (1+2+3)}{7\times (1+2+3)}=\frac{1}{7\times 6}+\frac{1}{7\times 3}+\frac{1}{7\times 2}=\frac{1}{42}+\frac{1}{21}+\frac{1}{14}$$

答： $a,b,c$ 可能的一组答案是： $42,21,14$

为了判断你是否真的学会了，我再出一题：

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$$

问 $a,b,c$ 可能是什么自然数？

这次连构造都懒得构造了，放弃瞪眼法，直接套路法得出答案： $54,27,18$

如果你能直接得出答案，那么说明你应该也知道了，这组数还可能是什么其他值，比如，我不用 $1+2+3$ 这组数，而是用其他的，举个例子，我用： $1+2+4$ ，可以吗？答案是不行，因为 $1+2+4$ 相加后得 $7$ ，而 $7$ 没法被 $2$ 和 $4$ 整除。那么我们怎么快速找到一组数，它们的和可以被它们自身整除呢？

往深里挖

我想知道这样的一组数是有穷组还是无穷组，能不能再给我一个除 1,2,3 外的例子？这样的数分布有啥规律？我怎么找到它们？这样的数，如果不是三个而是拓展到 4 个呢？我感觉这是个有趣的数论问题，但不知道是简单还是复杂，有前人研究过吗

经过一番跟 AI 老师的讨教，发现该问题在数学地图上的位置：

数论
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 ├── 丢番图方程
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 |       └── 单位分数方程
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 |              └── 埃及分数
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 └── 整除问题

先解决三个数的情况

设 $a+b+c=S$ ，要求 $a|S,b|S,c|S$ （ $|$ 是整除符号），也就是说： $S=ax=by=cz$ ，其中 $x,y,z$ 是正整数。于是 $a=\frac{S}{x},b=\frac{S}{y},a=\frac{S}{z}$ 代入 $a+b+c=S$ 得到 $\frac{S}{x}+\frac{S}{y}+\frac{S}{z}=S$ 两边除以 $S$ ：

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$

这一步非常关键，题目表面是在找 $a,b,c$ ，实际上是在找：

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$

的正整数解